Vom Kartenzählen zum Ziegenparadoxon

[IndexP]

Sonntagabend, 03.04.2011, 20:15 Uhr in Deutschland.
Eigentlich hätte ich mir auch den Berliner "Tatort" angesehen - fand allerdings folgenden Film auf Pro Sieben viel verlockender:

"21" - 2008

Zum Hintergrund des Films sagt Wikipedia folgendes:

"21" ist ein US-amerikanisches Filmdrama aus dem Jahr 2008. Der Film basiert auf dem journalistischen Sachbuch Bringing Down the House von Ben Mezrich, wobei die Buchvorlage nur sehr lose in die Handlung des Films übernommen wurde. Das Buch basiert auf den Aktivitäten eines der verschiedenen MIT Blackjack Teams, welche von 1979 an bis in dieses Jahrhundert hinein mit Kartenzählen beim Black-Jack-Spiel die Casinos dieser Welt bereisten und große Gewinnsummen erspielten.

Für die Handlung verweise ich ebenfalls auf die Darstellung bei Wikipedia:

Ben Campbell ist ein überragender Student am Massachusetts Institute of Technology, der Geld braucht, um sein Medizinstudium an der Harvard University zu finanzieren. Da kommt ihm das Angebot seines Mathematikprofessors Micky Rosa gerade recht, der die talentiertesten Schüler der Fakultät rekrutiert. Unter Führung dieses Professors erlernt Ben das Kartenspiel Black Jack und dass man es berechnen kann. So fliegt die Gruppe jedes Wochenende nach Las Vegas und spielt dort unter falschem Namen in diversen Casinos Karten. Durch Kartenzählen und eine spezielle Zeichensprache gewinnen sie so hohe Summen Geld. Verführt vom Reichtum, dem bunten Leben in Las Vegas und der Möglichkeit, mit seiner intelligenten und hübschen Teamkameradin Jill Taylor eine Beziehung aufzubauen, erhöht Ben seine Einsätze immer weiter. Nach einem Streit mit seinen früheren besten Freunden kommt es dazu, dass Ben sich eines Abends nicht auf sein rationales Denken verlässt, sondern auf einen Schlag zweihunderttausend Dollar verliert. Dies führt zum Disput mit dem Anführer der Gruppe, welcher das verspielte Geld von Ben zurückfordert. Ben weigert sich allerdings. Professor Rosa fährt sodann scheinbar allein nach Boston zurück und lässt die vier Studenten in Vegas zurück. Die Gruppe beschließt nun unter der neuen Leitung von Ben ohne ihren alten Anführer weiterzuspielen.

Auch wenn das Kartenzählen nicht illegal ist, gerät Ben immer mehr unter die Beobachtung von Cole Williams, welcher sich gegen diese Art des strategischen Spielens verschrieben hat, da es die Casinos in den finanziellen Ruin treiben kann. An jenem Abend, nachdem Professor Rosa anonym Ben an Cole verraten hat, schlägt dieser nun zu und schlägt Ben zusammen. Als Williams erfährt, dass Ben aus Boston kommt, wittert er seinen damaligen Erzfeind Micky Rosa, welcher zu Beginn von Williams Karriere bereits für einen finanziellen Einbruch eines Casinos sorgte, was zur Kündigung von Williams führte.

Nach der Rückkehr nach Boston bemerkt Ben, dass Rosa ihm sein gesamtes erspieltes Vermögen gestohlen und ihn in einer wichtigen Vorlesung hat durchfallen lassen. Bens Perspektiven scheinen sich zunehmend in Luft aufzulösen, da sowohl sein Abschluss am MIT als auch sein weiterer Werdegang an der Universität Harvard gefährdet sind. Er schlägt daher Micky einen letzten Coup vor, nämlich in einer Nacht verkleidet zusammen das Casino leerzuräumen. An besagtem Abend schlägt Williams zu und fasst Rosa. Ben kommt mit einem blauen Auge davon, da er dieses Vorgehen mit Williams zuvor abgesprochen hatte. Er muss lediglich seinen erspielten Gewinn an Williams übergeben, bekommt aber seinen MIT-Abschluss. Außerdem haben seine Freunde, mit denen er sich zuvor versöhnt hatte, in der ganzen Aufregung unauffällig Karten gezählt und eine große Geldsumme erspielt. Für das Harvard-Stipendium führt er nun seine Erfahrungen in Las Vegas an, um den Stipendiums-Juror durch sein aufregendes Leben nachhaltig zu beeindrucken.

Ein Film, der die Technik des Card-Counting als Handlungs-Strang benutzt - das klingt für jeden Casinospieler nach einem hochinteressanten Film-Thema.

Ich kenne die originale, halbdokumentarische Buchvorlage (nämlich "Bringing down the house" von Ben Mezrich) nicht - war aber enttäuscht über die filmische Umsetzung, welche eine Unzahl von logischen Löchern, Ungereimtheiten und Unterstellungen aneinanderreiht.

Als da wären....(dazu muß man den Film wohl aber gesehen haben):

1.
Der Film gibt vor, daß die Handlung Mitte oder gar Ende der 90er Jahre spielt - dort beginnt und auch endet.
Tatsächlich ist es wohl so, daß die Blackjack MIT Teams von ca. Ende der 70er Jahre bis Anfang des neuen Jahrtausends Bestand hatten.
Ich hatte schon beim Anschauen des Films größere Probleme mit der Vorstellung, daß die Card Counting Strategie von Ed Thorpe ca. 30 Jahre unangetastet und unausgenutzt bleiben sollte. Da erscheint mir die zeitliche Darstellung im Buch plausibler.

2.
Der mathematische Hintergrund des Card Counting wird im Film eigentlich nicht erklärt. Die Ausführung der Strategie dagegen schon - Zehnerkarten (Bilder) und abweichende Kartenwerte zu einem imaginären "Count" zusammenzuführen. Ohne sehr tief in der Materie des Card Counting drin zu stecken, bin ich mir sicher, daß im Film nur eine sehr vereinfachte Strategie gezeigt wurde (möglicherweise das Original von Ed Thorpe) - das kann nicht die Strategie gewesen sein, mit der das MIT-Team auch 40 Jahre später noch Erfolge feierte.

3.
Ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, daß die "Einladungszeichen" (um an den Tisch zu kommen...) so simpel und offensichtlich - und darüberhinaus immer die gleichen waren.

4.
Es wird so getan im Film, als ob das eigentliche Zählen des Counts das große Problem darstellt - eine Leistung, die eigentlich schon Achtklässler zustandebringen sollten.
Die Herausforderung ist wohl eher, dies unter Belastung in einer möglicherweisen lauten, aufgeheizten und verwirrenden Casino-Atmosphäre zu erledigen - und das auch noch absolut unauffällig.

5.
Die Prügel-Szenen der Casino Security - sorry, die können nur der Gier des Kinopublikums nach Action geschuldet sein. In Wirklichkeit wurden die Mitglieder des MIT-Teams mal irgendwann mit Hausverbot in den jeweiligen Casinos bestraft - es wurde ihnen aber niemals ein Haar gekrümmt. Wir sind doch nicht mehr im Vegas der 20er Jahre des vergangenen Jahrhunderts... Im Interesse der Glaubwürdigkeit hätte ich die Prügelszenen im Film weggelassen.

6.
Die Funktion der "Spotters" im Film ist mir nicht vollständig klar.
Zum Verständnis: Die "Spotters" sind diejenigen Mitglieder des Teams, die an den Tischen Minimum-Einsätze tätigen, den "Count" mitzählen - und die "big player" bei einem günstigen "Count" per Handzeichen an den Tisch einladen sollen.
Bis zum Erscheinen des "big player" ist die Funktion des "Spotters" klar - aber warum muß er nach Erscheinen des "big player" am Tisch spielend verweilen - und soll dem "big player" sogar des "Abkühlen" des Counts mitteilen - wo dieser doch selber mitzählt???
Bestimmt ein Logik-Fehler im Film - schließlich ist es ja nutzbringender, den Spotter auf die Suche nach anderen Möglichkeiten im Saal zu schicken...


Fazit:
Die Aufzählung der logischen Ungereimtheiten ist bei weitem nicht erschöpfend - vielleicht kann jemand mehr dazu beitragen? Vieles mag den dramaturgischen Anforderungen eines Films geschuldet sein (Gewalt gegen Ben...oder die eingebaute Liebesgeschichte) - trotzdem hätte ich mir bei der Umsetzung des Films mehr Genauigkeit gewünscht. Insbesondere bei 35 Mio. USD Produktionskosten...
Den Film sollte man wegen der seltenen Thematik mal gesehen haben - ein besonderes Film-Juwel ist er leider nicht.

[IndexP]

Ben Campbell ist ein überragender Student am Massachusetts Institute of Technology, der Geld braucht, um sein Medizinstudium an der Harvard University zu finanzieren. Da kommt ihm das Angebot seines Mathematikprofessors Micky Rosa gerade recht, der die talentiertesten Schüler der Fakultät rekrutiert.

Es ist sicher dem einen oder anderen schon aufgefallen...im Themen-Titel habe ich das Ziegenparadoxon erwähnt - im Text aber mit keiner Silbe erklärt.
Muß ich noch nachholen...ein nettes/verwirrendes Gedankenspiel.

Zur Beschreibung greife ich wieder auf Wikipedia zurück:

Das Problem wurde 1990 in seiner wohlbekannten Form in einem Leserbrief von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland an Marilyn vos Savant's „Ask Marilyn“-Kolumne im Parade Magazine formuliert:

„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: 'Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?' Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“

Die erste Überlegung ist meist folgende:

Die intuitive Lösung

Wenn man die Fragestellung im Leserbrief unvoreingenommenen Personen vorlegt, bekommt man häufig die Antwort:

„Die Gewinnchancen für die Tore 1 und 2 sind gleich. Denn ich weiß ja nichts über die Motivation des Moderators, das Tor 3 mit einer Ziege dahinter zu öffnen und einen Wechsel anzubieten.“

Wer allerdings eine solche Spielshow (und das Prozedere beim Öffnen der Tore) schon mal gesehen hat, kommt zu folgender Lösung:

Variante nach Marilyn vos Savant

Durch die Antwort von Marilyn vos Savant auf den Leserbrief erzielte das Problem international auch außerhalb der Fachwelt hohe Aufmerksamkeit und führte zu heftigen Kontroversen. Ihre Antwort lautete:


„Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3. Hier ist ein guter Weg, sich das Geschehen vorzustellen. Nehmen Sie an, es gäbe 1 Million Tore und Sie wählen Tor Nummer 1. Dann öffnet der Moderator, der weiß, was hinter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer vermeidet, alle Tore bis auf Tor Nummer 777777. Sie würden doch sofort zu diesem Tor wechseln, oder nicht?“

Marilyn vos Savant fasst den Leserbrief offensichtlich so auf, dass die Spielshow immer wieder nach demselben Muster abläuft:
Der jeweilige Kandidat wählt ein Tor, der Moderator öffnet ein anderes Tor mit einer Ziege dahinter und lässt danach dem Kandidaten noch einmal die Wahl zwischen den beiden noch geschlossenen Toren. Der Kandidat erhält das Auto, wenn es sich hinter dem von ihm zuletzt gewählten Tor befindet.
Ihre Lesart bezieht sich nicht auf die in der Fragestellung konkret benannten Tore, und somit erhält sie als Lösung die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit bzgl. aller möglichen Kombinationen von Toren, die vom Kandidaten gewählt werden bzw. vom Moderator daraufhin geöffnet werden können. Aufgrund dieser verallgemeinerten Auffassung und unter Berücksichtigung der von Frau Savant vorgeschlagenen Wechselstrategie lässt sich eine alternative Sicht des Ablaufs der Spielshow formulieren:
Der Kandidat darf zwei freigewählte Tore bestimmen, die der Moderator öffnen muss, und er erhält das Auto, falls es sich hinter einem dieser beiden Tore befindet.
Um es an einem Beispiel klar zu machen: Der Kandidat möchte Tor 2 und Tor 3 öffnen lassen. Er wählt also Tor 1, das verschlossen bleibt und wechselt dann zu Tor 2, wenn der Moderator Tor 3 geöffnet hat oder umgekehrt. Der Kandidat hat damit offensichtlich eine durchschnittliche Gewinnchance von p=2/3.

Alles klar?

[IndexP]

Wem das alles noch viel zu simpel ist (es handelt sich ja um triviale Wahrscheinlichkeitsbetrachtung...und Ben Campbell in dem beschriebenen Film hat das Paradoxon ja auch sofort erkannt) - für den habe ich noch folgenden Leckerbissen.
Als ich nach Ende des Films nämlich nach dem Ziegenparadoxon gegooglet hatte - stieß ich auf der entsprechenden Wikipedia-Seite auf einen Querverweis zum sogenannten "Gefangenen-Paradoxon", welches ich eigentlich noch viel spannender finde.

Formulierung des Problems

„In einem Gefängnis sitzen drei zum Tode verurteilte Gefangene: Anton, Brigitte und Clemens. Genau einer von ihnen soll begnadigt werden. Dazu wird ein Los gezogen, das allen die gleiche Chance gibt, begnadigt zu werden. Der Gefangene Anton, der also eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 1/3 hat, bittet den Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen Brigitte oder Clemens zu nennen, der oder die sterben muss. Der Wärter antwortet ‚Brigitte‘ und lügt nicht. Wie hoch ist nun Antons Überlebenswahrscheinlichkeit?“

Nachdem man das Ziegenproblem gelesen und verstanden hat - wundert es einen vielleicht nicht mehr sooooo sehr, daß folgende Lösung herauskommt:

Die Wahrscheinlichkeit bleibt 1/3.

Das Paradoxe an dem Ergebnis ist, dass Antons Überlebenschance noch immer 1/3 ist, obwohl jetzt nur noch er und Clemens zur Debatte stehen. Die Überlebenswahrscheinlichkeit von Clemens ist jedoch auf 2/3 gestiegen.

Es liegt dem Gefangenenproblem derselbe Sachverhalt zugrunde wie dem Ziegenproblem. Dabei sind die Ereignisse der Begnadigung mit denen der Existenz des Gewinnes hinter einem Tor zu identifizieren, weiter das Öffnen eines Tores mit der Nennung eines Opfers und der Wärter mit dem Moderator. Wissen und Verhalten des Wärters ist dem des Moderators äquivalent. Im Moderator oder Wärter wird bloß das Verhalten der Wahrscheinlichkeiten subsumiert.

Anschauliche Lösung

Etwas verständlicher wird dies, wenn man 100 Gefangene betrachtet, von denen einer begnadigt werden soll. Antons Überlebenschancen als einer der Hundert liegen bei 1 % und die Wahrscheinlichkeit, dass jemand anderes überlebt, beträgt 99 %. Anton bittet den Wärter, ihm 98 seiner Mitgefangenen zu nennen, die sterben müssen. Nach Abschluss der Aufzählung bleiben Clemens und Anton selbst übrig. Da Anton von vornherein bei der Aufzählung ausgeschlossen war, hat sich an seiner Überlebenschance nichts geändert. Und weil Clemens als einziger nicht genannt wurde, ist es sehr wahrscheinlich, dass er begnadigt wurde. Die Überlebenswahrscheinlichkeit von Anton beträgt weiterhin 1 %, die von Clemens erhöht sich auf 99 %.

Durch die Nennung eines Opfers gewährt der Wärter dem Fragenden neue Informationen. Jedoch betrifft diese Information nicht die Gewinnwahrscheinlichkeit des Fragenden. Der Wärter nennt einen vom Fragenden und vom Gewinner verschiedenen Gefangenen. Damit sind die Gefangenen in zwei Gruppen zu unterteilen, in die Gruppe des Fragenden und in eine Restgruppe. Die Informationsgebung des Wärters betrifft nur die Restmenge. Mit jedem Namen fällt die Gewinnwahrscheinlichkeit des genannten Opfers auf Null und die Gewinnwahrscheinlichkeit der Übrigen steigt entsprechend an, während die des Fragenden gleich bleibt.

Man nimmt an, dass die Auswahl-Wahrscheinlichkeit eines jeden Gefangenen zunächst gleich sei. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinner Element der Fragenden oder der Restmenge ist, steht durch die Verteilung der Zufallsvariablen fest.

So weit, so gut.
Man kann das Gefangenen-Problem aber noch eine kleine Ecke weiter spinnen - und da wird's dann wirklich lustig:

„Nachdem also Anton die Antwort des Wärters bekommen hat, besucht der Wärter Clemens. Clemens fragt den Wärter, was dieser bei Anton gemacht habe. Der Wärter erzählt ihm die Geschichte. Worauf nun Clemens antwortet: Gott sei Dank habe ich nicht zuerst gefragt!“

Tatsächlich wäre bei der gleichen Antwort ‚Brigitte‘ die Gewinnchancen von Anton auf 2/3 gestiegen, während sie beim fragenden Clemens bei 1/3 geblieben wäre.

Das Paradoxon liegt darin, dass scheinbar die Gewinnchancen dessen steigen, der nicht gefragt hat. Natürlich bleiben die Gewinnchancen unabhängig der Fragerei gleich, nämlich bei 1/3. (Die Antwort auf die Frage erhöht nur die Information zu den Gewinnchancen der Gefangenen in der Restmenge.)

Reicht das für heute an Gedankenfutter?

Wer dagegen noch nicht genug hat, kann sich ja gerne das
Umtausch-Paradoxon
oder
das Sekretärinnen-Paradoxon
zu Gemüte führen.

[Wasseruhr]

Hallo IndexP,

das Sankt-Petersburg-Paradoxon ist im Bezug auf Glücksspiele ebenfalls sehr interessant.

Wasseruhr

[IndexP]

Ich setz nur mal den Link zu Wikipedia:

Sankt-Petersburg-Paradoxon

Den Mathe-Krieg zur Erwartungsnutzen-Theorie habe ich beim ersten Hinsehen nicht ganz verstanden - die Ausführungen zur endlichen Sankt-Petersburg-Lotterie sind dagegen wieder einleuchtend.

[Wasseruhr]

Hallo IndexP,

es gibt ein grunsätzliches Problem im Glücksspiel.
Gerade Spieler, die auch anhand von RNG Software oder Permanenzen Dinge anhand von 1 Million oder mehr Coups analysieren, müssen in der Realität damit leben, dass sie praktisch niemals diese Anzahl von Spielen werden in ihrem Leben durchführen können und durchaus die komplette Zeit in einem dunklen Loch sitzenbleiben, egal wann und wo sie in den nächsten 40 Jahren spielen.

Das ist auch der Grund, warum es viele Spieler gibt, die ihr Leben lang nur verlieren und zwar weit über den mathematischen Erwartungswert hinaus.

Auf der anderen Seite ist es durchaus möglich, mit dem einfachsten System lange Zeit vorne zu bleiben trotz Zero.

Man muss nur Glück haben, in der "Millionen-Permanenz", die das eigene Spielerleben begleitet am Anfang eine positive Phase zu bekommen, denn das böse Ende kann man dann im wahrsten Sinne des Wortes nicht mehr erleben.

Wasseruhr

[IndexP]

Zurück zum oben beschriebenen Film "21":

Wer die Ausstrahlung im April 2011 verpaßt hat...am kommenden Freitag (06.01.2012) wird der Film mal wieder auf Pro7 gesendet:

http://www.tvinfo.de/fernsehprogramm...g/153916008_21

(Und eine Wiederholung am 09.01.2011 um 2:20 Uhr morgens...)

[simthang2001]

Zur�ck zum oben beschriebenen Film "21": Wer die Ausstrahlung im April 2011 verpa�t hat...am kommenden Freitag (06.01.2012) wird der Film mal wieder auf Pro7 gesendet: http://www.tvinfo.de/fernsehprogramm...g/153916008_21 (Und eine Wiederholung am 09.01.2011 um 2:20 Uhr morgens...)

Cung cấp banh nhá»±a trẻ em cho các TRƯỜNG MẦM NON, KHU VUI CHÆ*I LIÊN HOÀN, NHÀ BÓNG KHU VUI CHÆ*I, KHU VUI CHÆ*I NHÀ BÓNG NGOÀI TRỜI vá»›i số lượng lá»›n 2000 quả trở lên, 2,5 vạn quả bóng đến > 10 vạn, > 30 vạn( giao hÃ*ng tại địa chỉ quý khách, giá cạnh tranh, bóng đẹp, chất lượng). vá»›i số lượng vÃ*i nghìn hÃ*ng sẵn

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Hiện nay chúng tôi Ä‘ang phân phối các loại bóng Ä�Æ°á»�ng kÃ*nh : Bóng nhá»±a Việt Nam trẻ em Ä‘Æ°á»�ng kÃ*nh 7 , Bóng nhá»±a Việt Nam phi 7.5, Bóng nhá»±a Việt Nam phi 9, Bóng nhá»±a Việt Nam phi 10, Banh nhá»±a Việt Nam Ä‘Æ°á»�ng kÃ*nh 12, phi 15, phi 20.





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